Cum se construiește un triunghi isoscel. Probleme despre triunghiuri isoscel Triunghi isoscel de-a lungul bazei și laturii
VIII . Grupuri de sarcini de construcție.
Rezolvarea unor grupuri de probleme folosind un triunghi auxiliar.
Esența metodei este construcția triunghiurilor auxiliare și utilizarea proprietăților acestora și a elementelor nou obținute pentru a rezolva în final problema.
Analiza construcției constă din următorii pași:
Căutați un triunghi auxiliar în analiza dvs.
Dacă apar elemente noi cu ajutorul cărora este posibil să se construiască triunghiul ABC, atunci obiectivul a fost atins.
Dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci poate fi construit un alt triunghi auxiliar care va furniza elementele lipsă.
Să ne uităm la esența metodei folosind exemple.
Sarcina 1. Construiți un triunghi isoscel ABC ( b= c) De către o, h b .
Căutăm un triunghi auxiliar. Evident, este convenabil să considerăm triunghiul CDB ca un astfel de triunghi.
Aceasta va da unghiul C, deci unghiul ABC. Deci, există a, unghiul B, unghiul C, ceea ce înseamnă că putem construi triunghiul ABC. O vom scrie schematic astfel:
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(o,< B, < C) → Δ ABC.
Sarcini pentru decizie independentă:
Folosind un raționament similar celui de mai sus, vă recomandăm să construiți un triunghi isoscel (b=c) folosind următoarele date:
O)< А, h b ;
b)< В, h с;
G)< В, h b ;
e)< С, h b .
Sarcina 2. Construiți un triunghi folosind raza r a cercului înscris, unghiul A și unghiul B.
Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.
Sarcini pentru soluție independentă:
Construiți un triunghi folosind următoarele elemente:
a) a, h c, h b;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
b) a, h a, h b;
c) a, m a, m b;
construiți un romb ABCD folosind diagonala BD și înălțimea BM.
(ΔBHD →
g) b, h b, m b (unde m sunt mediane, l sunt bisectoare, h sunt înălțimi).< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
Pe cont propriu:
construiește un trapez pe patru laturi.
(ΔBHD →
Rezolvarea unor grupuri de probleme pe baza celei principale.
Sarcina principală:
Construiți un triunghi folosind două laturi și unghiul dintre ele.
Construiți un triunghi dreptunghic de-a lungul a două laturi.
Construiți un romb de-a lungul a două diagonale.
Construiți un triunghi folosind o latură și două unghiuri adiacente.
Sarcini pentru soluție independentă:
(ΔBHD →
Construiți un triunghi isoscel folosind baza și unghiul adiacent.
Construiți un triunghi dreptunghic folosind un catete și un unghi ascuțit adiacent.
Construiți un romb folosind un unghi și o diagonală care trec prin vârful acestui unghi.
Construiți un triunghi isoscel pe baza înălțimii și a unghiului de vârf.
Construiți un pătrat de-a lungul diagonalei date.
Construiți un triunghi dreptunghic folosind ipotenuza și un unghi ascuțit.
Sarcini pentru soluție independentă:
(ΔBHD →
Construiți un triunghi isoscel de-a lungul laturii și colțului de la bază.
Construiți un triunghi isoscel folosind latura și unghiul de vârf.
Construiți un triunghi folosind trei laturi.
Sarcini pentru soluție independentă:
(ΔBHD →
Construiți un triunghi isoscel folosind baza și laturile sale.
Construiți un romb de-a lungul laturilor și diagonalelor.
Construiți un paralelogram folosind două laturi inegale și o diagonală.
Construiți un paralelogram folosind o latură și două diagonale.
Construiți un triunghi dreptunghic folosind un catet și o ipotenuză.
Sarcini pentru soluție independentă:
Construiți un triunghi isoscel de-a lungul înălțimii și laturii.
Construiți un triunghi isoscel folosind baza și o perpendiculară de la capătul bazei pe latură.
Construiți un paralelogram folosind baza, înălțimea și diagonala acestuia.
Construiți un romb de-a lungul înălțimii și diagonalei sale.
Construiți un triunghi isoscel folosind latura și înălțimea coborâte din acesta.
Construiți un triunghi folosind baza, înălțimea și latura lui.
Literatură:
B. I. Argunov, M. B. Balk „Construcții geometrice în plan”, M, „Prosveshchenie” 1955.
Glazer G.I „Istoria matematicii în școală” clasele IV – VI, M, „Iluminismul”, 1981.
I. Goldenblant „Experiența în rezolvarea problemelor de construcție geometrică” „Matematica la școală” Nr. 3, 1946
I. A. Kushnir „Pe o singură cale de a rezolva probleme de construcție” „Matematică la școală” nr. 2, 1984
A. I. Mostovoy „Aplica diverse metode de rezolvare a problemelor de construcție” „Matematică la școală” nr. 5, 1983
A. A. Popova Manual de „Matematică”. „Statul Chelyabinsk universitate pedagogică
”, 2005 E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Construcții geometrice în clasele I – V liceu
„Evoluții metodologice. Sverdlovsk, 1974
Cum se construiește un triunghi isoscel? Acest lucru este ușor de realizat cu o riglă, un creion și celule de caiet.
Începem construcția unui triunghi isoscel de la bază. Pentru a face modelul par, numărul de celule de la bază trebuie să fie un număr par.
Vârful triunghiului poate fi ales la orice înălțime de la bază, dar întotdeauna exact deasupra mijlocului.
Cum se construiește un triunghi isoscel acut?
Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel pot fi doar acute. Pentru ca un triunghi isoscel să fie acut, unghiul de la vârf trebuie să fie și el acut.
Pentru a face acest lucru, selectați vârful triunghiului mai sus, departe de bază.
Cu cât vârful este mai înalt, cu atât unghi mai micîn vârf. Unghiurile de la bază cresc în mod corespunzător.
Cum se construiește un triunghi isoscel obtuz?
Pe măsură ce vârful unui triunghi isoscel se apropie de bază, gradul de măsură a unghiului la vârf crește.
Aceasta înseamnă că pentru a construi un triunghi obtuz isoscel, selectăm un vârf inferior.
Cum se construiește un triunghi dreptunghic isoscel?
Pentru a construi un triunghi dreptunghic isoscel, trebuie să selectați un vârf la o distanță egală cu jumătate din bază (acest lucru se datorează proprietăților unui triunghi dreptunghic isoscel).
De exemplu, dacă lungimea bazei este de 6 celule, atunci plasăm vârful triunghiului la o înălțime de 3 celule deasupra mijlocului bazei. Vă rugăm să rețineți: în acest caz, fiecare celulă de la colțurile de la bază este împărțită în diagonală.
Construcția unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi începută de la vârf.
Selectăm un vârf și din acesta în unghi drept așezăm segmente egale în sus și la dreapta. Acestea sunt laturile triunghiului.
Să le conectăm și să obținem un triunghi dreptunghic isoscel.
Vom lua în considerare construcția unui triunghi isoscel folosind un compas și o riglă fără diviziuni într-un alt subiect.
Isoscel este asa triunghi, în care lungimile celor două laturi ale sale sunt egale între ele.
La rezolvarea problemelor pe tema "Triunghi isoscel" este necesar să se utilizeze următoarele cunoscute proprietăți:
1.
Unghiurile opuse laturilor egale sunt egale între ele.
2.
Bisectoarele, medianele și altitudinile trasate din unghiuri egale sunt egale între ele.
3.
Bisectoarea, mediana și altitudinea trasate la baza unui triunghi isoscel coincid una cu cealaltă.
4.
Centrul cercului și centrul cercului se află la înălțime și, prin urmare, la mediana și bisectoarea trase la bază.
5.
Unghiurile care sunt egale într-un triunghi isoscel sunt întotdeauna acute.
Un triunghi este isoscel dacă are următoarele semne:
1.
Două unghiuri ale unui triunghi sunt egale.
2.
Înălțimea coincide cu mediana.
3.
Bisectoarea coincide cu mediana.
4.
Înălțimea coincide cu bisectoarea.
5.
Cele două altitudini ale unui triunghi sunt egale.
6.
Cele două bisectoare ale unui triunghi sunt egale.
7.
Cele două mediane ale unui triunghi sunt egale.
Să luăm în considerare mai multe probleme pe această temă "Triunghi isoscel"și oferă soluția lor detaliată.
Sarcina 1.
Într-un triunghi isoscel, altitudinea până la bază este 8, iar baza laturii este 6:5 Aflați distanța de la vârful triunghiului până la punctul de intersecție al bisectoarelor sale.
Soluţie.
Să fie dat un triunghi isoscel ABC (Fig. 1).
1) Deoarece AC: BC = 6: 5, atunci AC = 6x și BC = 5x. ВН – înălțimea trasă la baza AC a triunghiului ABC.
Deoarece punctul H este mijlocul lui AC (conform proprietății unui triunghi isoscel), atunci HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
BC2 = VN2 + NS2;
(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;
x = 2, atunci
AC = 6x = 6 2 = 12 și
BC = 5x = 5 2 = 10.
3) Deoarece punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris în el, atunci
OH = r. Găsim raza cercului înscris în triunghiul ABC folosind formula
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, atunci OH = r = 48/16 = 3.
Prin urmare VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.
Raspuns: 5.
Sarcina 2.
Într-un triunghi isoscel ABC, bisectoarea AD este trasată. Arii triunghiurilor ABD și ADC sunt 10 și 12. Aflați aria triplă a unui pătrat construit la înălțimea acestui triunghi desenat la baza AC.
Soluţie.
Luați în considerare triunghiul ABC - isoscel, AD - bisectoarea unghiului A (Fig. 2).
1) Să notăm ariile triunghiurilor BAD și DAC:
S RĂU = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Aflați raportul dintre suprafețe:
S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Deoarece S BAD = 10, S DAC = 12, atunci 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, atunci fie AB = 5x și AC = 6x.
AN = 1/2 AC = 1/2 · 6x = 3x.
3) Din triunghiul ABN - dreptunghiular conform teoremei lui Pitagora AB 2 = AN 2 + BH 2;
25x 2 = VN 2 + 9x 2;
4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .
Deoarece S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, atunci 22 = 12x 2 ;
x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.
5) Aria pătratului este egală cu VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.
Raspuns: 88.
Sarcina 3.
Într-un triunghi isoscel, baza este 4 și latura este 8. Aflați pătratul înălțimii coborâte în lateral.
Soluţie.
În triunghiul ABC - isoscel BC = 8, AC = 4 (Fig. 3).
1) ВН – înălțimea trasă la baza AC a triunghiului ABC.
Deoarece punctul H este mijlocul lui AC (conform proprietății unui triunghi isoscel), atunci HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.
2) Din triunghiul VNS - dreptunghiular conform teoremei lui Pitagora BC 2 = VN 2 + NS 2;
64 = VN2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), precum și S ABC = 1/2 · (AM · BC), apoi echivalăm părțile din dreapta ale formulelor, obținem
1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Raspuns: 15.
Sarcina 4.
Într-un triunghi isoscel, baza și înălțimea coborâtă pe el sunt egale cu 16. Aflați raza cercului circumscris acestui triunghi.
Soluţie.
În triunghiul ABC – baza isoscelă AC = 16, ВН = 16 – înălțimea trasă la baza AC (Fig. 4).
1) AN = NS = 8 (după proprietatea unui triunghi isoscel).
2) Din triunghiul VNS - dreptunghiular conform teoremei lui Pitagora
BC2 = VN2 + NS2;
BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) Considerăm triunghiul ABC: prin teorema sinusurilor 2R = AB/sin C, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.
sin C = BH/BC (din triunghiul VNS prin definiția sinusului).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, atunci 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Raspuns: 10.
Sarcina 5.
Lungimea altitudinii trasate la baza unui triunghi isoscel este 36, iar raza cercului înscris este 10. Aflați aria triunghiului.
Soluţie.
Să fie dat un triunghi isoscel ABC.
1) Deoarece centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor sale, atunci O ϵ VN și AO este bisectoarea unghiului A și, de asemenea, OH = r = 10 (Fig. 5).
2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.
3) Luați în considerare triunghiul ABN. Prin teorema bisectoarei unui triunghi
AB/AN = VO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, apoi fie AB = 13x și AN = 5x.
Conform teoremei lui Pitagora, AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;
169x 2 = 25x 2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2 ;
144x2 = 144 9;
x = 3, atunci AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Răspuns: 540.
Sarcina 6.
Într-un triunghi isoscel, două laturi sunt egale cu 5 și 20. Aflați bisectoarea unghiului de la baza triunghiului.
Soluţie.
1) Să presupunem că laturile triunghiului sunt 5 și baza este 20.
Apoi 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Fig. 6).
2) Fie LC = x, apoi BL = 20 – x. Prin teorema bisectoarei unui triunghi
AB/AC = BL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
atunci 4x = 20 – x;
Astfel LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Să folosim formula pentru bisectoarea unui unghi de triunghi:
AL 2 = AB AC – BL LC,
atunci AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;
Raspuns: 6.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi problemele de geometrie?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
