Definirea proprietăților dreptunghiului acțiunii sale. Dreptunghi. Lecții complete - Knowledge Hypermarket. Punctul de intersecție al diagonalelor le împarte în jumătate

Și din nou întrebarea: un romb este un paralelogram sau nu?

Cu dreapta completă - un paralelogram, deoarece are și (amintiți-vă caracteristica noastră 2).

Și din nou, deoarece un romb este un paralelogram, atunci trebuie să aibă toate proprietățile unui paralelogram. Aceasta înseamnă că într-un romb, unghiurile opuse sunt egale, laturile opuse sunt paralele, iar diagonalele bisectează în punctul de intersecție.

Proprietățile unui romb

Uită-te la poză:

Ca și în cazul unui dreptunghi, aceste proprietăți sunt distinctive, adică pentru fiecare dintre aceste proprietăți putem concluziona că acesta nu este doar un paralelogram, ci un romb.

Semne ale unui diamant

Și din nou, atenție: trebuie să existe nu doar un patrulater ale cărui diagonale sunt perpendiculare, ci și un paralelogram. Asigurați-vă că:

Nu, desigur, deși diagonalele sale sunt perpendiculare, iar diagonala este bisectoarea unghiurilor și. Dar... diagonalele nu sunt împărțite la jumătate de punctul de intersecție, prin urmare - NU un paralelogram și, prin urmare, NU un romb.

Adică un pătrat este un dreptunghi și un romb în același timp. Să vedem ce se întâmplă.

Este clar de ce? - rombul este bisectoarea unghiului A, care este egal cu. Aceasta înseamnă că se împarte (și de asemenea) în două unghiuri de-a lungul.

Ei bine, este destul de clar: diagonalele unui dreptunghi sunt egale; Diagonalele unui romb sunt perpendiculare și, în general, un paralelogram de diagonale este împărțit la jumătate la punctul de intersecție.

NIVEL MEDIU

Proprietățile patrulaterelor. Paralelogram

Proprietățile unui paralelogram

Atenţie! cuvinte" proprietățile paralelogramului„Înseamnă că dacă în sarcina ta Există paralelogram, atunci pot fi folosite toate următoarele.

Teoremă asupra proprietăților unui paralelogram.

În orice paralelogram:

Să înțelegem de ce toate acestea sunt adevărate, cu alte cuvinte VOM DOVEDĂ teorema.

Deci, de ce este 1) adevărat?

Dacă este un paralelogram, atunci:

mincind încrucişat
mincind ca crucile.

Aceasta înseamnă (conform criteriului II: și - general.)

Ei bine, asta este, asta este! - dovedit.

Dar apropo! Am dovedit și noi 2)!

De ce? Dar (uita-te la poza), adica tocmai pentru ca.

Au mai rămas doar 3).

Pentru a face acest lucru, mai trebuie să desenați o a doua diagonală.

Și acum vedem că - conform caracteristicii II (unghiuri și latura „între” ele).

Proprietăți dovedite! Să trecem la semne.

Semne ale unui paralelogram

Amintiți-vă că semnul paralelogramului răspunde la întrebarea „de unde știți că o figură este un paralelogram.

În pictograme este așa:

De ce? Ar fi bine să înțelegem de ce - este suficient. Dar uite:

Ei bine, ne-am dat seama de ce semnul 1 este adevărat.

Ei bine, este și mai ușor! Să desenăm din nou o diagonală.

Ceea ce înseamnă:

ŞI De asemenea, este ușor. Dar... altfel!

Înseamnă, . Wow! Dar, de asemenea, - intern unilateral cu o secanta!

Prin urmare faptul că înseamnă că.

Și dacă te uiți din cealaltă parte, atunci - interior unilateral cu o secantă! Și de aceea.

Vezi ce grozav este?!

Și din nou simplu:

Exact la fel, și.

Vă rugăm să rețineți: dacă ai găsit cel puţin un semn de paralelogram în problema ta, atunci ai exact paralelogram și puteți folosi toată lumea proprietățile paralelogramului.

Pentru o claritate completă, priviți diagrama:

Proprietățile patrulaterelor. Dreptunghi.

Proprietăți dreptunghiulare:

Punctul 1) este destul de evident - la urma urmei, semnul 3 () este pur și simplu îndeplinit

Și punctul 2) - foarte important. Deci, hai să demonstrăm asta

Aceasta înseamnă pe două părți (și - general).

Ei bine, deoarece triunghiurile sunt egale, atunci și ipotenuzele lor sunt egale.

A demonstrat asta!

Și imaginați-vă, egalitatea diagonalelor este o proprietate distinctivă a unui dreptunghi între toate paralelogramele. Adică această afirmație este adevărată^

Să înțelegem de ce?

Aceasta înseamnă (adică unghiurile unui paralelogram). Dar să ne amintim încă o dată că este un paralelogram și, prin urmare.

Înseamnă, . Ei bine, desigur, rezultă că fiecare dintre ele! La urma urmei, ei trebuie să dea în total!

Deci au demonstrat că dacă paralelogram brusc (!) diagonalele se dovedesc a fi egale, apoi asta exact un dreptunghi.

Dar! Fiţi atenți! Vorbim despre paralelograme! Nu oricine un patrulater cu diagonale egale este un dreptunghi și numai paralelogram!

Proprietățile patrulaterelor. Romb

Și din nou întrebarea: un romb este un paralelogram sau nu?

Cu dreapta completă - un paralelogram, deoarece are (Amintiți-vă caracteristica noastră 2).

Și din nou, deoarece un romb este un paralelogram, trebuie să aibă toate proprietățile unui paralelogram. Aceasta înseamnă că într-un romb, unghiurile opuse sunt egale, laturile opuse sunt paralele, iar diagonalele bisectează în punctul de intersecție.

Dar există și proprietăți speciale. Să o formulăm.

Proprietățile unui romb

De ce? Ei bine, deoarece un romb este un paralelogram, atunci diagonalele sale sunt împărțite la jumătate.

De ce? Da, de aceea!

Cu alte cuvinte, diagonalele s-au dovedit a fi bisectoare ale colțurilor rombului.

Ca și în cazul unui dreptunghi, aceste proprietăți sunt distinctiv, fiecare dintre ele este și semnul unui romb.

Semne ale unui diamant.

De ce este asta? Și uite,

Asta înseamnă ambele Aceste triunghiuri sunt isoscele.

Pentru a fi romb, un patrulater trebuie mai întâi să „devină” un paralelogram, apoi să prezinte caracteristica 1 sau caracteristica 2.

Proprietățile patrulaterelor. Pătrat

Adică un pătrat este un dreptunghi și un romb în același timp. Să vedem ce se întâmplă.

Este clar de ce? Un pătrat - un romb - este bisectoarea unui unghi care este egal cu. Aceasta înseamnă că se împarte (și, de asemenea,) în două unghiuri de-a lungul.

De ce? Ei bine, să aplicăm teorema lui Pitagora la...

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Proprietățile unui paralelogram:

Laturile opuse sunt egale: , .
Unghiurile opuse sunt egale: , .
Unghiurile de pe o parte se aduna la: , .
Diagonalele se împart la jumătate la punctul de intersecție: .

Proprietăți dreptunghiulare:

Diagonalele dreptunghiului sunt egale: .
Un dreptunghi este un paralelogram (pentru un dreptunghi sunt îndeplinite toate proprietățile unui paralelogram).

Proprietățile unui romb:

Diagonalele unui romb sunt perpendiculare: .
Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale: ; ; ; .
Un romb este un paralelogram (pentru un romb sunt îndeplinite toate proprietățile unui paralelogram).

Proprietățile unui pătrat:

Un pătrat este romb și dreptunghi în același timp, prin urmare, pentru un pătrat sunt îndeplinite toate proprietățile unui dreptunghi și ale unui romb. Și de asemenea.

Un dreptunghi este format dintr-o linie întreruptă închisă, formată din patru verigi, și acea parte a planului care se află în interiorul liniei întrerupte.

În text, dreptunghiurile sunt desemnate prin patru litere latine majuscule la vârfuri - ABCD.

Dreptunghiurile au laturile opuse care sunt paralele și egale:

ABCD puncte O, B, CŞi D- Asta vârfurile dreptunghiului, segmente AB, B.C., CDŞi D.A. - laturi. Unghiurile formate de laturi se numesc unghiuri interioare sau simplu colțurile dreptunghiului.

Principala diferență dintre dreptunghiuri și alte patrulatere sunt cele patru unghiuri drepte interne:

Proprietățile diagonalelor

Segmentele de linie care leagă vârfurile opuse ale unui dreptunghi se numesc diagonale.

Segmente A.C.Şi BD- diagonale, O- punctul de intersecție al diagonalelor.

În orice dreptunghi poți desena doar două diagonale. Au următoarele proprietăți:

diagonalele dreptunghiului sunt egale
A.C. = BD
punctul de intersecție împarte fiecare diagonală în două segmente egale
A.O. = O.C.Şi B.O. = O.D.
întrucât diagonalele sunt egale, atunci segmentele în care sunt împărțite în punctul de intersecție sunt, de asemenea, egale între ele:
A.O. = O.C. = B.O. = O.D.
fiecare diagonală împarte dreptunghiul în două triunghiuri egale:
Δ ABC = Δ CDAşi Δ DAB = Δ BCD

Pătrat- un dreptunghi cu toate laturile egale. Diagonalele unui pătrat au toate proprietățile diagonalelor unui dreptunghi. De asemenea, diagonalele unui pătrat au proprietăți suplimentare:

Diagonalele unui pătrat se intersectează în unghi drept, adică sunt reciproc perpendiculare:
A.C. ⊥ BD
Diagonalele unui pătrat îl împart în patru triunghiuri egale:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ DAO
diagonalele unui pătrat împărți colțurile interneîn două părți egale, adică sunt bisectoare

Dreptunghi este un patrulater în care fiecare unghi este drept.

Dovada

Proprietatea este explicată prin acțiunea caracteristicii 3 a paralelogramului (adică \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Laturile opuse sunt egale.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Laturile opuse sunt paralele.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Laturile adiacente sunt perpendiculare între ele.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Diagonalele dreptunghiului sunt egale.

AC = BD

Dovada

Conform proprietatea 1 dreptunghiul este un paralelogram, ceea ce înseamnă AB = CD.

Prin urmare, \triangle ABD = \triangle DCA pe două catete (AB = CD și AD - articulație).

Dacă ambele figuri ABC și DCA sunt identice, atunci ipotenuzele lor BD și AC sunt de asemenea identice.

Deci AC = BD.

Dintre toate figurile (doar de paralelograme!), doar dreptunghiul are diagonale egale.

Să demonstrăm și asta.

ABCD este un paralelogram \Rightarrow AB = CD, AC = BD după condiție. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA deja pe trei laturi.

Se dovedește că \angle A = \angle D (ca unghiurile unui paralelogram). Și \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Tragem concluzia că \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Toate sunt 90^(\circ) . În total - 360^(\circ) .

Dovedit!

6. Pătrat în diagonală egal cu suma pătratele celor două laturi adiacente ale sale.

Această proprietate este adevărată datorită teoremei lui Pitagora.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice identice.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Punctul de intersecție al diagonalelor le împarte la jumătate.

AO = BO = CO = DO

9. Punctul de intersecție al diagonalelor este centrul dreptunghiului și al cercului circumferitor.

10. Suma tuturor unghiurilor este de 360 de grade.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Toate unghiurile unui dreptunghi sunt drepte.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Diametrul unui cerc circumscris unui dreptunghi este egal cu diagonala dreptunghiului.

13. Puteți descrie oricând un cerc în jurul unui dreptunghi.

Această proprietate este adevărată datorită faptului că suma unghiurilor opuse ale unui dreptunghi este 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Un dreptunghi poate conține un cerc înscris și doar unul dacă are laturile de lungime egală (este un pătrat).

Geografie, biologie, chimie, algebră, geometrie... Scolarii au de-a face cu o mulțime de informații dintr-o mare varietate de științe. Cu toate acestea, există domenii de cunoaștere care sunt destul de ușor de înțeles prin familiarizarea cu legile lor de bază. Aceasta include și geometria. Pentru a învăța toate complexitățile acestei științe, trebuie să vă familiarizați cu elementele de bază și cu axiomele ei. La urma urmei, nu există nicăieri în geometrie fără elementele de bază.

Definiția dreptunghiului

Un dreptunghi este o figură geometrică cu patru unghiuri drepte. Definiția este destul de simplă, dar nu trebuie să vă gândiți că un student nu va avea probleme în a studia un astfel de subiect, deoarece există o serie de caracteristici aici. Dimensiunile unui dreptunghi depind de lungimea laturilor sale, care sunt cel mai adesea notate cu literele latine a și b.

Proprietăți dreptunghi

laturile aflate unul față de celălalt sunt egale și paralele;
diagonalele figurii sunt egale;
punctul de intersecție al diagonalelor le împarte la jumătate;
un dreptunghi poate fi împărțit în două egale

Semne dreptunghiulare

Există doar trei caracteristici pe care le are un dreptunghi. Iată-le:

un paralelogram cu diagonale egale este un dreptunghi;
un paralelogram cu un unghi drept este un dreptunghi;
un patrulater cu trei unghiuri drepte este un dreptunghi.

Puțin mai interesant

Deci, ce este un dreptunghi este acum clar, dar ce rol joacă acesta în problemele geometrice și în măsurătorile practice rămâne de înțeles. Deci, în primul rând, trebuie spus că aceasta este cea mai convenabilă figură geometrică, cu ajutorul căreia puteți împărți zona în secțiuni atât în spații deschise, cât și în interior.

Ce este un dreptunghi? După cum știți, este un patrulater. Există multe varietăți ale acestuia din urmă, inclusiv trapez (doar două laturi sunt egale), paralelogram (laturile opuse sunt paralele), pătrat (toate unghiurile și laturile sunt aceleași), rombul (paralelogramul cu laturile egale) și altele. Un caz special al unui dreptunghi este un pătrat, în care toate unghiurile sunt drepte și laturile sunt egale.

Nu poți vorbi despre ce este un dreptunghi fără a menționa cum să-i determine dimensiunile. Această zonă este de obicei considerată a fi produsul dintre lățimea și lungimea sa, iar perimetrul, ca și cel al oricărei figuri, este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor. ÎN în acest caz, este, de asemenea, egală cu dublul sumei lungimii și lățimii, deoarece laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale. Acum știi ce este un dreptunghi și ce să faci cu el, rezolvând probleme și înțelegând secretele unei științe atât de misterioase și misterioase precum geometria.

Lecție pe tema „Dreptunghi și proprietățile sale”

Obiectivele lecției:

Repetați conceptul de dreptunghi, pe baza cunoștințelor dobândite de elevi la cursul de matematică din clasele 1–6.

Considerați proprietățile unui dreptunghi ca un tip special de paralelogram.

Luați în considerare o anumită proprietate a unui dreptunghi.

Arată aplicarea proprietăților la rezolvarea problemelor.

Progresul lecției.

eu O moment organizatoric.

Informați scopul lecției, subiectul lecției.

II Învățarea de materiale noi.

Repeta:

1. Ce figură se numește paralelogram?

2. Ce proprietăți are un paralelogram?

● Introduceți conceptul de dreptunghi.

Ce paralelogram poate fi numit dreptunghi?

Definiție: Un dreptunghi este un paralelogram în care toate unghiurile sunt drepte.(diapozitivul 3)

Aceasta înseamnă că, deoarece un dreptunghi este un paralelogram, are toate proprietățile unui paralelogram. Deoarece dreptunghiul are un nume diferit, trebuie să aibă propria sa proprietate (diapozitivul 4).

● Activitatea elevului (independentă): Explorați laturile, unghiurile și diagonalele unui paralelogram și unui dreptunghi, înregistrând rezultatele într-un tabel.

Paralelogram

Dreptunghi

petreceri

Unghiuri

Diagonale

Trageți o concluzie: Diagonalele dreptunghiului sunt egale.

● Această ieșire este o proprietate particulară a dreptunghiului:

Teorema. D Diagonalele dreptunghiului sunt egale.

Dat: ABCD – dreptunghi,

AC și diagonalele BD.

Dovedi: AC = BD

Dovada:

1) Luați în considerare ∆ ACD și ∆ ABD:

O)
AD C =
D AB = 90°,

b) A D- general,

c) AB = C D – laturile opuse ale dreptunghiului,

Prin urmare, triunghiurile sunt egale pe două laturi.

2) Deoarece triunghiurile sunt egale, atunci AC = BD.

● Să luăm în considerare proprietățile unui dreptunghi, știind că este un paralelogram.

Proprietatea 1: suma unghiurilor unui dreptunghi este 360°.

Dovada: a) întrucât un dreptunghi are patru unghiuri de 90°, suma lor este 360°.

b) întrucât un dreptunghi este patrulater, suma unghiurilor unui patrulater este (n – 2) ∙180° = (4 – 2) ∙180° = 2∙180° = 360°.

Proprietatea 2: laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale.

Dovada: a) întrucât un dreptunghi este un paralelogram, iar laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale, atunci și laturile opuse ale unui dreptunghi vor fi egale.

Cum altfel poți demonstra acest fapt?

b) dacă desenăm o diagonală AC, atunci din egalitatea triunghiurilor dreptunghice ABC și CDȘi (după ipotenuză și unghiul ascuțit) va urma egalitatea laturilor opuse ale dreptunghiului.

Proprietatea 3: Diagonalele dreptunghiului se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

Dovada: a) întrucât un dreptunghi este un paralelogram, iar într-un paralelogram diagonalele se intersectează și se împart la jumătate la punctul de intersecție, atunci diagonalele unui dreptunghi se intersectează și se împart la jumătate la punctul de intersecție.

Există o altă dovadă a acestei proprietăți?

b) Da, prin egalitatea triunghiurilor AOB și D OS (de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente)

Proprietatea 4: bisectoarea unghiului unui dreptunghi se desprinde din acesta triunghi isoscel.

Dovada: a) deoarece un dreptunghi este un paralelogram, iar într-un paralelogram bisectoarea unui unghi ascuțit decupează un triunghi isoscel de pe acesta, atunci într-un dreptunghi bisectoarea oricărui unghi decupează un triunghi isoscel de pe acesta.

Există vreo altă modalitate de a demonstra această proprietate?

b) Este posibil. Luați în considerare triunghiul dreptunghic ABC și demonstrați egalitatea unghiurilor BAK și BKA. Atunci putem concluziona că laturile AB și BC sunt egale.

Toate proprietățile sunt demonstrate folosind proprietățile unui paralelogram.

Am descoperit că un dreptunghi are cinci proprietăți:

III Consolidarea materialului studiat.

Teme de clasă: 1. Găsiți perimetrul unui dreptunghi (oral)

a)b)

Soluţie:

a) P = (6+4)∙2, P = 20(dm) (laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale)

b) deoarece diagonalele dreptunghiului sunt egale, atunci ∆ M ОK și ∆ M ОN sunt isoscele, OB și OA sunt mediane, deci sunt și înălțimi. Atunci 2BO = MN = 8, 2AO = MK = 4.

Р = (8 + 4)∙2, Р = 24(dm)