Закон гука выполняется только для пружины 1. Закон Гука — определение и формула. Математическое выражение закона
Министерство образования АР Крым
Таврический Национальный Университет им. Вернадского
Исследование физического закона
ЗАКОН ГУКА
Выполнил: студент 1 курса
физического факультета гр. Ф-111
Потапов Евгений
Симферополь-2010
План:
Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.
Формулировка закона
Математическое выражение закона.
Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.
Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.
Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.
Примеры использования закона и учета действия закона на практике.
Литература.
Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:
Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция - изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.
Формулировка закона:
Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.
Формулировка закона - сила упругости прямо пропорциональна деформации.
Математическое выражение закона:
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Здесь F сила натяжения стержня, Δl - его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.
Если ввести относительное удлинение
и нормальное напряжение в поперечном сечении
т о закон Гука запишется так
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.
В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:
где σ ij - тензор напряжений, -тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C ijkl содержит только два независимых коэффициента.
Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:
Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.
Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:
История об этом умалчивает..
Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:
Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.
Примеры использования закона и учета действия закона на практике:
Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.
Литература.
1. Интернет-ресурсы: - сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).
2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс
3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс
4. лекции по механике Рябушкин Д.С.
Коэффициент упругости
Коэффицие́нт упру́гости (иногда называют коэффициентом Гука, коэффициентом жёсткости или жёсткостью пружины) - коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k , иногда D или c . Имеет размерность Н/м или кг/с2 (в СИ), дин/см или г/с2 (в СГС).
Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.
Определение и свойства
Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины: k = F e / Δ l . {\displaystyle k=F_{\mathrm {e} }/\Delta l.} Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S {\displaystyle S} и длины L {\displaystyle L}), записав коэффициент упругости как k = E ⋅ S / L . {\displaystyle k=E\cdot S/L.} Величина E {\displaystyle E} называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня.
Жёсткость деформируемых тел при их соединении
Параллельное соединение пружин. 
Последовательное соединение пружин.
При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости - пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном - уменьшается.
Параллельное соединение
При параллельном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n},} жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть k = k 1 + k 2 + k 3 + . . . + k n . {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+k_{3}+...+k_{n}.}
Доказательство
В параллельном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.} Из III закона Ньютона, F = F 1 + F 2 + . . . + F n . {\displaystyle F=F_{1}+F_{2}+...+F_{n}.} (К ним прикладывается сила F {\displaystyle F} . При этом к пружине 1 прикладывается сила F 1 , {\displaystyle F_{1},} к пружине 2 сила F 2 , {\displaystyle F_{2},} … , к пружине n {\displaystyle n} сила F n . {\displaystyle F_{n}.})
Теперь из закона Гука (F = − k x {\displaystyle F=-kx} , где x - удлинение) выведем: F = k x ; F 1 = k 1 x ; F 2 = k 2 x ; . . . ; F n = k n x . {\displaystyle F=kx;F_{1}=k_{1}x;F_{2}=k_{2}x;...;F_{n}=k_{n}x.} Подставим эти выражения в равенство (1): k x = k 1 x + k 2 x + . . . + k n x ; {\displaystyle kx=k_{1}x+k_{2}x+...+k_{n}x;} сократив на x , {\displaystyle x,} получим: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+...+k_{n},} что и требовалось доказать.
Последовательное соединение
При последовательном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n},} общая жёсткость определяется из уравнения: 1 / k = (1 / k 1 + 1 / k 2 + 1 / k 3 + . . . + 1 / k n) . {\displaystyle 1/k=(1/k_{1}+1/k_{2}+1/k_{3}+...+1/k_{n}).}
Доказательство
В последовательном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.} Из закона Гука (F = − k l {\displaystyle F=-kl} , где l - удлинение) следует, что F = k ⋅ l . {\displaystyle F=k\cdot l.} Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения l 1 + l 2 + . . . + l n = l . {\displaystyle l_{1}+l_{2}+...+l_{n}=l.}
На каждую пружину действует одна и та же сила F . {\displaystyle F.} Согласно закону Гука, F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = l n ⋅ k n . {\displaystyle F=l_{1}\cdot k_{1}=l_{2}\cdot k_{2}=...=l_{n}\cdot k_{n}.} Из предыдущих выражений выведем: l = F / k , l 1 = F / k 1 , l 2 = F / k 2 , . . . , l n = F / k n . {\displaystyle l=F/k,\quad l_{1}=F/k_{1},\quad l_{2}=F/k_{2},\quad ...,\quad l_{n}=F/k_{n}.} Подставив эти выражения в (2) и разделив на F , {\displaystyle F,} получаем 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , {\displaystyle 1/k=1/k_{1}+1/k_{2}+...+1/k_{n},} что и требовалось доказать.
Жёсткость некоторых деформируемых тел
Стержень постоянного сечения
Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости
K = E S L 0 , {\displaystyle k={\frac {E\,S}{L_{0}}},} Е - модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень; S - площадь поперечного сечения; L 0 - длина стержня.
Цилиндрическая витая пружина
Витая цилиндрическая пружина сжатия.
Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости
K = G ⋅ d D 4 8 ⋅ d F 3 ⋅ n , {\displaystyle k={\frac {G\cdot d_{\mathrm {D} }^{4}}{8\cdot d_{\mathrm {F} }^{3}\cdot n}},} d - диаметр проволоки; d F - диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки); n - число витков; G - модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа, для пружинной стали G ≈ 78.5 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).
Источники и примечания
- Упругая деформация (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
- Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. - Springer, 2004. - P. 181 ..
- Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. - Oldenbourg, 2004. - P. 11 ..
- Динамика, Сила упругости (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
- Механические свойства тел (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
10.Закон Гука при растяжении-сжатии. Модуль упругости (модуль Юнга).
При осевом растяжении или сжатии до предела пропорциональности σ
pr
справедлив закон Гука, т.е. закон о прямо пропорциональной зависимости между нормальными напряжениями
и продольными относительными деформациями
:
(3.10)
или 
(3.11)
Здесь Е – коэффициент пропорциональности в законе Гука имеет размерность напряжения и называется модулем упругости первого рода , характеризующим упругие свойства материала, или модулем Юнга .
Относительной продольной деформацией называется отношение абсолютной продольной деформации участка
стержня к длине этого участка 
до деформации: 
(3.12)
Относительная поперечная деформация будет равна: " = = b/b, где b = b 1 – b.
Отношение относительной поперечной деформации " к относительной продольной деформации , взятое по модулю, есть для каждого материала величина постоянная и называется коэффициентом Пуассона:
Определение абсолютной деформации участка бруса
В формулу (3.11) вместо 
и
подставим выражения (3.1) и (3.12):
Отсюда получим формулу для определения абсолютного удлинения (или укорочения) участка стержня длиной :
(3.13)
В формуле (3.13) произведение ЕА называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии, которая измеряется в кН, или в МН.
По этой формуле определяется абсолютная деформация , если на участке продольная сила постоянна. В случае, когда на участке продольная сила переменна, она определяется по формуле:
(3.14)
где N(х) – функция продольной силы по длине участка.
11.Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона
12.Определение перемещений при растяжении-сжатии. Закон Гука для участка бруса. Определение перемещений сечений бруса
Определим горизонтальное перемещение точки а
оси бруса (рис. 3.5) – u a: оно равно абсолютной деформации части бруса а
d
, заключенной между заделкой и сечением, проведенным через точку, т.е. 
В свою очередь удлинение участка а d состоит из удлинений отдельных грузовых участков 1, 2 и 3:
Продольные силы на рассматриваемых участках:
Следовательно,
Тогда 
Аналогично можно определить перемещение любого сечения бруса и сформулировать следующее правило:
перемещение любого сечения j стержня при растяжении–сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций n грузовых участков, заключенных между рассматриваемым и неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.
(3.16)
Условие жесткости бруса запишется в следующем виде:
, (3.17)
где 
– наибольшее значение перемещения сечения, взятое по модулю из эпюры перемещений;u – допускаемое значение перемещения сечения для данной конструкции или ее элемента, устанавливаемое в нормах.
13.Определение механических характеристик материалов. Испытание на растяжение. Испытание на сжатие.
Для количественной оценки основных свойств материалов, как
Правило, экспериментально определяют диаграмму растяжения в координатах и (рис. 2.9), На диаграмме отмечены характерные точки. Дадим их определение.
Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности П . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой = f () к оси определяется величиной Е .
Упругие свойства материала сохраняются до напряжения У , называемого пределом упругости . Под пределом упругости У понимается такое наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгрузки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.
Величина Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии Т соответственно заменяется на ТР и ТС . При напряжениях больших Т в теле конструкции развиваются пластические деформации П , которые не исчезают при снятии нагрузки.
Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит название предела прочности, или временного сопротивления, и обозначается через, ВР (при сжатии ВС ).
При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой целью применяются различные аппроксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом упруго пластических свойств материалов конструкций чаще всего применяется диаграмма Прандтля . По этой диаграмме напряжение изменяется от нуля до предела текучести по закону Гука = Е , а далее при росте , = Т (рис. 2.10).
Способность материалов получать остаточные деформации носит название пластичности . На рис. 2.9 была представлена характерная диаграмма для пластических материалов.
Рис. 2.10 Рис. 2.11
Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости , т.е. способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Материал, обладающий этим свойством, называется хрупким . К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.
1. Что называется деформацией тела? Как формулируется закон Гука?
Вахит шавалиев
Деформациями называются любые изменения формы, размеров и объема тела. Деформация определяет конечный результат движения частей тела друг относительно друга.
Упругими деформациями называются деформации, полностью исчезающие после устранения внешних сил.
Пластическими деформациями называются деформации, полностью или частично сохраняющиеся после прекращения действии внешних сил.
Силы упругости – это силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.
Закон Гука
Небольшие и кратковременные деформации с достаточной степенью точности могут рассматриваться как упругие. Для таких деформаций справедлив закон Гука:
Сила упругости, возникающая при деформации тела прямо пропорциональна абсолютному удлинению тела и направлена в сторону, противоположную смещению частиц тела:
\
где F_x- проекция силы на ось x, k-жесткость тела, зависящая от размеров тела и материала, из которого оно изготовлено, единица жесткости в системе СИ Н/м.
http://ru.solverbook.com/spravochnik/mexanika/dinamika/deformacii-sily-uprugosti/
Варя гусева
Деформация - это изменение формы или объёма тела. Виды деформации - растяжение или сжатия (примеры: растянуть резинку или сжать, аккордеон) , изгиб (прогнулась доска под человеком, изогнули лист бумаги) , кручение (работа отвёрткой, выжимание белья руками) , сдвиг (при торможении автомобиля шины деформируются за счёт силы трения) .
Закон Гука: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
или
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.
Формула закона Гука: Fупр=kx
Закон Гука. Можно выразить формулой F= -kх или F= kх?
⚓ Выдр ☸
Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Здесь F сила натяжения стержня, Δl - его удлинение (сжатие) , а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью) . Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как
Величина E называется модулем Юнга и зависит только от свойств тела.
Если ввести относительное удлинение
и нормальное напряжение в поперечном сечении
то закон Гука запишется как
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.
[править]
Обобщённый закон Гука
В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонентов) . Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга Cijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора Cijkl, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:
Для изотропного материала тензор Cijkl содержит только два независимых коэффициента.
Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.
[править]
короче, можно и так, и так, смотря что вы хотите указать в итоге: просто модуль силы Гука или еще и направление этой силы. Строго говоря, конечно, -kx, т. к. сила Гука направлена против положительного приращения координаты конца пружины.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Деформациями называются любые изменения формы, размеров и объема тела. Деформация определяет конечный результат движения частей тела друг относительно друга.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Упругими деформациями называются деформации, полностью исчезающие после устранения внешних сил.
Пластическими деформациями называются деформации, полностью или частично сохраняющиеся после прекращения действии внешних сил.
Способность к упругим и пластическим деформациям зависит от природы вещества, из которого состоит тело, условий, в которых оно находится; способов его изготовления. Например, если взять разные сорта железа или стали, то у них можно обнаружить совершенно разные упругие и пластичные свойства. При обычных комнатных температурах железо является очень мягким, пластичным материалом; закаленная сталь, наоборот, — твердый, упругий материал. Пластичность многих материалов представляет собой условие для их обработки, для изготовления из них нужных деталей. Поэтому она считается одним из важнейших технических свойств твердого вещества.
При деформации твердого тела происходит смещение частиц (атомов, молекул или ионов) из первоначальных положений равновесия в новые положения. При этом изменяются силовые взаимодействия между отдельными частицами тела. В результате в деформированном теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.
Различают деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения.
Силы упругости
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Силы упругости – это силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.
Силы упругости имеют электромагнитную природу. Они препятствуют деформациям и направлены перпендикулярно поверхности соприкосновения взаимодействующих тел, а если взаимодействуют такие тела, как пружины, нити, то силы упругости направлены вдоль их оси.
Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры, часто называют силой реакции опоры.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Деформация растяжения (линейная деформация) – это деформация, при которой происходит изменение только одного линейного размера тела. Ее количественными характеристиками являются абсолютное и относительное удлинение.
Абсолютное удлинение:
где и длина тела в деформированном и недеформированном состоянии соответственно.
Относительное удлинение:
Закон Гука
Небольшие и кратковременные деформации с достаточной степенью точности могут рассматриваться как упругие. Для таких деформаций справедлив закон Гука:
где проекция силы на ось жесткость тела, зависящая от размеров тела и материала, из которого оно изготовлено, единица жесткости в системе СИ Н/м.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Пружина жесткостью Н/м в ненагруженном состоянии имеет длину 25 см. Какова будет длина пружины, если к ней подвесить груз массой 2 кг? |
| Решение | Сделаем рисунок.
На груз, подвешенный на пружине, действуют и сила упругости . Спроектировав это векторное равенство на координатную ось , получим: По закону Гука сила упругости: поэтому можно записать: откуда длина деформированной пружины: Переведем в систему СИ значение длины недеформированной пружины см м. Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим: |
| Ответ | Длина деформированной пружины составит 29 см. |
ПРИМЕР 2
| Задание | По горизонтальной поверхности передвигают тело массой 3 кг с помощью пружины жесткостью Н/м. На сколько удлинится пружина, если под ее действием при равноускоренном движении за 10 с скорость тела изменилась от 0 до 20 м/с? Трением пренебречь. |
| Решение | Сделаем рисунок.
На тело действуют , сила реакции опоры и сила упругости пружины . |
Всё, что происходит в природе, основывается на действии различных сил – закон Гука является тому подтверждением. Это одно из основополагающих явлений науки.
Этот процесс является определяющим звеном процессов сжатия, изгибов, растяжения и других видоизменений материалов различных структур.
Разберёмся, в чем же заключается этот закон, как можно применить правило Гука на практике, и всегда ли оно выполняется.
Определение и формула закона Гука
Давно люди пытались объяснить происхождение явлений сжатия и растяжения. Отсутствие знаний являлось причиной накопления экспериментальных данных. Собственно, свою теорему английский испытатель Гук открыл из своих наблюдений и опытов. Только позже, после смерти ученого, современники назовут выведенную им аксиому – законом Гука.
Исследователь заметил, что при каждом упругом воздействии на объект появляется сила, которая возвращает его в исходную форму. Это и послужило началом экспериментов.
Аксиома Гука гласит:
При очень маленьких упругих воздействиях создается сила, пропорциональная изменению объекта, но противоположного знака по абсолютной величине перемещения его частиц.
Математически это определение можно записать следующим образом:
F x = F упр = — k * x ,
где в левой части указывается:
сила, действующая на тело;
x – перемещение тела (м);
k – коэффициент деформации, зависящий от свойств объекта.
Единица измерения, как и любой другой силы, является Ньютон.
Кстати, k еще называют жёсткостью тела, она измеряется в H/м. Жесткость обусловлена не внешними параметрами объекта, а зависит от его материала.
Правда, стоит учесть, что его закон справедлив только для упругих деформаций.
Сила упругости
Формулировка основывается на определении силы упругости. В чем же заключается ее отличие от других воздействий на тело?
На самом деле, сила упругости может возникать в любой точке тела при его упругой деформации. Что понимается под таким воздействием? Это изменение формы тела, при котором объект через определенный период времени возвращается в исходный вид.
А это в свою очередь происходит из-за молекулярного воздействия частиц: при любой деформации происходит изменение расстояния между молекулами объекта, а кулоновские силы притяжения или отталкивания стремятся вернуть тело в исходное положение.
Самая простая модель, демонстрирующая действие сил упругости, является пружинным маятником.
Какая формула выражает аксиому, установленную ученым в этом случае?
Тут аксиома Гука запишется в виде:
ε = α * S ,
где ε – относительное удлинение тела (его величина равна отношению удлинения к перемещению);
α – коэффициент пропорциональности (обратно пропорционален модулю Юнга Е);
S – механическое напряжение объекта (его величина равна отношению силы упругости к площади сечения тела).
Учитывая вышесказанное, уравнение можно записать так:
Δx / x = F упр / E * S ,
где Δx – максимальный сдвиг при деформации.
Стоит преобразовать данное выражение, тогда получим следующее:
F упр = (E * S / x ) Δx = k * Δx.
Поскольку сила упругости противоположна внешнему воздействию, то кратко закон читается таким образом:
F упр = — k * Δx.
В нем не зря упомянуты малые по величине деформации: при них Δx ̴ x, следовательно, F упр = — k * x.
При каких условиях выполняется закон Гука
А теперь посмотрим, каковы границы применимости этого выражения, и в каких условиях оно вообще выполняется.
Следует знать, что основным условием является:
s = E * e ,
где слева в уравнении находится напряжение, возникающее при деформации, а в правой части модуль Юнга и удлинение.
Причем, E зависит от характеристик частиц объекта, но не от его параметров формы, а второй множитель берется по модулю.
В целом аксиома Гука справедлива для многих ситуаций.
Так, при упругом изгибе пружины, лежащей на двух опорах, математическая запись теоремы выглядит следующим образом:
F упр = — m * g
F упр = — k * x
В иных ситуациях (при кручении, различных маятниках и других деформирующих процессах) аналогично записывается воздействие сил на объект.
Как применить закон упругой деформации на практике
Этот закон (обобщенный для многих ситуаций) является базовым в динамике и статике тел, поэтому его применимость осуществляется в областях, где необходимо проводить расчет жесткости и напряжения деформации объектов.
В первую очередь, правило Гука необходимо применять в строительстве и технике. Так, рабочие должны точно знать, какой максимальный груз может поднять башенный кран или какую нагрузку выдержит фундамент будущего здания.
Ни один из поездов не обходится без деформации растяжения и сжатия, поэтому закон Гука справедлив и для этих ситуаций. Кроме того, механизм и принцип действия любых динамометров, которыми снабжены некоторые части технического оборудования, также основываются на этом замечательном законе.
Закон Гука выполняется во всех объектах, являющихся аналогами модели «пружинный маятник».
В обычной жизни, дома, можно видеть применимость этого закона в пружинах некоторых механизмов.
Таким образом, закон Гука применим во многих сферах жизни человека. Он является одним из базовых явлений, на которых держится существование всей жизни на планете.
Заключение
Подводя итоги, следует отметить, что закон Гука – универсальный помощник в задачах с решениями по деформации объектов не только в студенческих книжках по сопромату, но и в различных инженерных областях.
Именно эти простые задания помогают ученым и мастерам создавать новые технические модели, необходимые в условиях современного технического прогресса.
Закон Гука формулируется так: сила упругости, которая возникает при деформации тела, вследствие приложения сторонних сил, пропорционально его удлинению. Деформация в свою очередь это изменение межатомных или межмолекулярных расстояние вещества под действием внешних сил. Сила упругости это сила, которая стремится вернуть эти атомы или молекулы в состояние равновесия.
Формула 1 - Закон Гука.
F - Сила упругости.
k - жесткость тела (Коэффициент пропорциональности, который зависит от материала тела и его формы).
x - Деформация тела (удлинение или сжатие тела).
Этот закон был открыт Робертом Гуком в 1660г. Он провел опыт, который заключался в том что. Тонкая стальная струна была закреплена одним концом, а ко второму концу прикладывалось различное усилие. Проще говоря, струна была подвешена к потолку, и к ней прикладывался груз различной массы.
Рисунок 1 - Растяжение струны под действием силы тяжести.
В результате опыта Гук выяснил, что в небольших приделах зависимость растяжения тела линейна относительно силы упругость. То есть при приложении единицы силы, тело удлиняется, на единицу длинны.
Рисунок 2 - График зависимости силы упругости от удлинения тела.
Нуль на графике это исходная длинна тела. Все что справа это увеличение длинны тела. Сила упругости при этом имеет отрицательное значение. То есть она стремиться вернуть тело в исходное состояние. Соответственно направлена встречно деформирующей силе. Все что слева сжатие тела. Сила упругости положительна.
Растяжение струны зависти не только от внешней силы, но и от сечения струны. Тонкая струна еще как-то растянется от небольшого веса. А вот если взять струну, той же длинны, но диаметром скажем в 1 м. То сложно себе представить какой вес потребуется для ее растяжения.
Для оценки того как сила действует на тело определенного сечения вводится понятие нормальное механическое напряжение.
Формула 2 - нормальное механическое напряжение.
S-Площадь поперечного сечения.
Это напряжение, в конечном счете, пропорционально относительному удлинению тела. Относительное удлинение это отношение приращения длинны тела к его общей длине. А коэффициент пропорциональности называется модулем Юнга. Модуль потому что значение удлинение тела берется по модулю, без учета знака. Не берется во внимание, укорачивается тело или удлиняется. Важно изменение его длинны.
Формула 3 - Модуль Юнга.
|e|- Относительное удлинение тела.
s- нормальное напряжение тела.
Многие ли из нас задумывались, каким удивительным образом ведут себя предметы при воздействии на них?
Например, почему ткань, если мы растягиваем ее в разные стороны, может долго тянуться, а в один момент вдруг порваться? И почему тот же самый эксперимент куда сложнее провести с карандашом? От чего зависит сопротивление материала? Каким образом можно определить, до какой степени он поддается деформации или растяжению?
Все эти и многие другие вопросы более 300 лет назад задавал себе английский исследователь И нашел ответы, ныне объединенные под общим названием "Закон Гука".
Согласно его исследованиям, каждый материал имеет так называемый коэффициент упругости . Это свойство, позволяющее материалу растягиваться в определенных пределах. Коэффициент упругости - величина постоянная. Это значит, что каждый материал может выдержать лишь определенный уровень сопротивления, после чего он достигает уровня необратимой деформации.
В целом, Закон Гука можно выразить формулой:
где F - сила упругости, k - уже упомянутый коэффициент упругости, а /x/ - изменение длины материала. Что подразумевается под изменением этого показателя? Под воздействием силы некий изучаемый предмет, будь это струна, резина или любой другой, изменяются, вытягиваясь или сжимаясь. Изменением длины в данном случае считается разница между изначальной и конечной длиной изучаемого предмета. То есть то, на сколько вытянулась/сжалась пружина (резина, струна и т.д.)
Отсюда, зная длину и постоянный коэффициент упругости для данного материала, можно найти силу, с которой материал натягивается, или силу упругости, как еще нередко называют Закон Гука.
Существуют также особые случаи, при которых данный закон в своей стандартной форме использован быть не может. Речь идет об измерении силы деформации в условиях сдвига, то есть в ситуациях, когда деформацию производит некая сила, воздействующая на материал под углом. Закон Гука при сдвиге может быть выражен таким образом:
где τ - искомая сила, G- постоянный коэффициент, известный как модуль упругости при сдвиге, y - угол сдвига, та величина, на которую изменился угол наклона предмета.
