Dijagrami proračuna greda i određivanje reakcije njihovih oslonaca. Određivanje reakcija oslanjanja greda. Primjeri rješavanja zadataka

Grede nazvat ćemo ravne šipke koje se savijaju. U čvrstoći materijala pojam "greda" mnogo je širi nego u uobičajenoj upotrebi ove riječi: s gledišta proračuna čvrstoće, krutosti i stabilnosti, greda nije samo konstrukcijska greda, već i osovina, vijak, osovina vagona, zub zupčanika itd. d.

Najprije ćemo se ograničiti na konstruiranje dijagrama za najjednostavniji slučaj savijanja grede, u kojem sva zadana opterećenja leže u jednoj ravnini, tzv. vlast(na slici 4, A- ravnina P), a ta se ravnina poklapa s jednom od glavnih ravnina grede. Takav ćemo slučaj nazvati ravni zavoj.

U dijagramu dizajna uobičajeno je zamijeniti gredu s njezinom osi (slika 4, b). U ovom slučaju, sva opterećenja, naravno, moraju

Slika 4 će se dovesti do osi grede i ravnina sile će se poklapati s ravninom crteža.

U pravilu, grede imaju potporne naprave - nosače. Za izračune su shematizirani u obliku tri glavne vrste nosača:

A) zglobna potpora(Sl. 5, a), u kojoj se može pojaviti samo jedna komponenta reakcije - , usmjeren duž potporne šipke;

b) zglobno-fiksni oslonac(Sl. 5, b), u kojem mogu nastati dvije komponente - vertikalna reakcija
I horizontalna reakcija

V) štipanje(inače snažno stezanje ili ugrađivanje), gdje mogu postojati tri komponente – vertikalna
i vodoravno
reakcije i trenutak podrške mama(Sl. 5, V).

Sve reakcije i momenti smatraju se primijenjenima u točki A- težište potpornog dijela.

Greda prikazana na Sl. 6, s, tzv jednostavan , ili jednoprostorni , ili dvostruka podrška , i udaljenost l između nosača - preletjeti .

Konzola naziva se greda koja je stegnuta na jednom kraju i nema drugih nosača (slika 4, b), ili dio grede koji visi preko nosača (dio Sunce na sl. 6, b; dijelovi AC I BD na sl. 6, f). Banke s visećim dijelovima nazivaju se konzole (slika 6, b, V).

Za ravninski sustav sila mogu se konstruirati tri statičke jednadžbe za određivanje nepoznatih reakcija.

Stoga će greda biti statički određena ako broj nepoznatih reakcija oslonca ne prelazi tri; inače je greda statički neodređena. Očito je da grede prikazane na Sl. 4 i 6 su statički definirane.

Greda prikazana na Sl. 7, A, nazvao stalan i je statički neodređeno, budući da ima pet nepoznatih reakcija podrške: tri u podršci A a po jedan u osloncima B i S.

Postavljanjem šarki u dijelove grede, na primjer na točkama D I E(Sl. 7, b), dobivamo statički odredivu zglobnu gredu, jer svaki takav srednji zglob dodaje jednu dodatnu jednadžbu trima osnovnim jednadžbama statike: zbroj momenata u odnosu na središte šarke od svih sila koje se nalaze s jedne strane jednak je nuli .

Konstruiranje dijagrama za statički neodređene grede zahtijeva sposobnost proračuna deformacija, pa ćemo se za sada ograničiti isključivo na statički određene grede.

U kolegiju teorijske mehanike proučavaju se metode određivanja reakcija potpore. Stoga ćemo se ovdje usredotočiti samo na neka praktična pitanja. Da biste to učinili, razmotrite jednostavnu gredu (slika 6, a).

1. Nosači se obično označavaju slovima A I U. Tri nepoznate reakcije nalaze se iz sljedećih jednadžbi ravnoteže:

a) zbroj projekcija svih sila na os grede jednak je nuli:
odakle to nalaze?

b) zbroj momenata svih sila u odnosu na nosivi zglob A jednako nuli:
odakle to nalaze?
.

c) zbroj momenata svih sila u odnosu na nosivi zglob U jednako nuli:

odakle to nalaze?
.

2. Za kontrolu možete koristiti ili uvjet da je zbroj projekcija na okomicu jednak nuli:

ili uvjet da je zbroj momenata jednak nuli u odnosu na neku točku C osim A I U, tj.

U

Stanje
Jednostavniji je za korištenje, ali omogućuje pouzdanu provjeru samo u slučajevima kada se na gredu ne primjenjuju koncentrirani momenti.

3. Prije sastavljanja jednadžbi ravnoteže potrebno je odabrati (općenito govoreći proizvoljno) smjerove reakcija i prikazati ih na slici. Ako se kao rezultat izračuna bilo koja reakcija pokaže negativnom, trebate promijeniti njezin smjer na slici u suprotno i ubuduće ovu reakciju smatrati pozitivnom,

5. Ako raspodijeljeno opterećenje djeluje na gredu, tada se za određivanje reakcija zamjenjuje rezultantnim opterećenjem, koje je jednako površini dijagrama opterećenja i primjenjuje se u težištu ovog dijagrama.

Primjer 5. Izračunajte reakcije oslonca za gredu prikazanu na sl. 8.

Prije svega, nalazimo rezultante R 1 I R 2 opterećenja raspoređena po područjima AC n SV:

;
.

Sila R 1 primjenjuje se u središtu gravitacije pravokutnika, i R 2 - u težištu trokuta. Nalazimo reakcije:

Razmatran je postupak rješavanja zadataka za određivanje reakcija nosača nosača. Naveden je primjer rješavanja zadatka i provjere ispravnosti određivanja reakcija. Dato je rješenje zadatka na drugi način.

Sadržaj

Postupak rješavanja zadataka određivanja reakcija grednih oslonaca

• Odabir koordinatnog sustava. Os x možete usmjeriti duž grede, a os y okomito prema gore. Os z bit će usmjerena okomito na ravninu crtanja, prema nama. Središte koordinatnog sustava može se odabrati na jednoj od točaka oslonca grede.
• Ako postoji raspodijeljeno opterećenje, tada ga zamjenjujemo rezultantnom silom. Veličina ove sile jednaka je površini dijagrama. Točka primjene sile je u težištu dijagrama. Dakle, ako je opterećenje q ravnomjerno raspoređeno na segmentu AB, tada njegova rezultanta ima vrijednost Q = q | AB| a aplicira se u sredini segmenta AB.
• Sastavljamo jednadžbe ravnoteže za djelujuće sile. Općenito, izgledaju ovako:
  .
  Projicirajmo ovu vektorsku jednadžbu na koordinatnu os. Tada je zbroj projekcija sila na svaku od koordinatnih osi jednak nuli:
  (1) .
  Nađemo projekcije sila na koordinatne osi i sastavimo jednadžbe (1). Za ravninski sustav sila ne koristi se zadnja jednadžba s projekcijama na os z.
• Sastavljamo jednadžbe ravnoteže za momente sila. Zbroj momenata sila oko proizvoljne osi A′A′′ jednak je nuli:
  (2) .
  Da bismo konstruirali ovu jednadžbu, moramo odabrati os oko koje se izračunavaju momenti. Bolje je odabrati os kako bi izračuni bili jednostavniji. Najčešće se osi biraju tako da prolaze kroz točke oslonca grede, okomite na ravninu crteža.
• Rješavamo jednadžbe i dobivamo vrijednosti reakcija potpore.
• Provjeravamo rezultat. Kao provjeru možete odabrati neku os okomitu na ravninu crteža i u odnosu na nju izračunati zbroj momenata sila koje djeluju na gredu, uključujući pronađene reakcije oslonaca. Zbroj momenata mora biti nula.

Primjer rješavanja zadatka određivanja reakcija grednih nosača

Zadatak.

Kruta greda, čije su linearne dimenzije prikazane na slici 1, učvršćena je u točkama A i B. Na gredu djeluje par sila s momentom M, jednoliko raspodijeljeno opterećenje intenziteta q i dvije sile P i G, čije je mjesto primjene prikazano na slici.
Odredite reakcije oslonaca grede u točkama A i B izazvane navedenim opterećenjem.

dano:
P= 20,2 N; G= 22,6 N; q = 2 N/m; M= 42,8 Nm; a = 1,3 m; b = 3,9 m; α = 45°;

Rješenje problema

Crtamo x i y osi koordinatnog sustava. Postavimo ishodište koordinatnog sustava u točku A. Usmjerimo x os vodoravno, duž grede. Y os je okomita. Os z je okomita na ravninu crtanja i usmjerena prema nama. Na slici nije naznačeno.

Sile koje djeluju na gredu.

Odbacujemo oslonce i zamjenjujemo ih silama reakcije.
U zglobu A rastavimo reakcijsku silu na komponente i po koordinatnim osima.
Reakcija u pokretnom nosaču na valjcima usmjerena je okomito. Očekivane smjerove reakcija podrške biramo prema vlastitom nahođenju, nasumično. Ako pogriješimo sa smjerom reakcije, dobit ćemo negativnu vrijednost, što će značiti da je odgovarajuća sila reakcije usmjerena u suprotnom smjeru.

Zamijenimo jednoliko raspodijeljeno opterećenje q rezultantnim opterećenjem. Apsolutna vrijednost rezultante jednaka je površini dijagrama:
N.
Točka primjene rezultante je u težištu dijagrama. Budući da je dijagram pravokutnik, njegovo težište je u točki C - u sredini segmenta AD:
AC = CD = b/2 = 1,95 m.

Jednadžbe ravnoteže za sile

Određujemo projekcije sila na koordinatne osi.

Rastavimo silu na komponente duž koordinatnih osi:
.
Apsolutne vrijednosti komponenti:
.
Vektor je paralelan s x-osi i usmjeren u suprotnom smjeru od nje. Vektor je paralelan s y-osi i također usmjeren u suprotnom smjeru. Stoga projekcije sile na koordinatne osi imaju sljedeće vrijednosti:
.

Ostale sile su paralelne s koordinatnim osima. Stoga imaju sljedeće projekcije:
;
;
;
;
.

Sastavljamo jednadžbe ravnoteže za sile.
Zbroj projekcija svih sila na os x jednak je nuli:
;
;
;
(P1) .

Zbroj projekcija svih sila na y-osu jednak je nuli:
;
;
;
(P2) .

Jednadžbe ravnoteže za momente

Dakle, već smo sastavili dvije jednadžbe za sile: (A1) i (A2). Ali sadrže tri nepoznate količine: , i . Da bismo ih odredili, moramo napraviti drugu jednadžbu.

Napravimo jednadžbu ravnoteže za momente sila. Da bismo to učinili, moramo odabrati os oko koje ćemo izračunati momente. Kao takvu os uzimamo os koja prolazi kroz točku A, okomitu na ravninu crteža. Za pozitivan smjer odabrat ćemo onaj koji je usmjeren prema nama. Tada će, prema pravilu desnog vijka, pozitivni smjer uvijanja biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Nalazimo momente sila u odnosu na odabranu os.
Sile , i sijeku os. Stoga su njihovi momenti jednaki nuli:
; ; .

Sila je okomita na krak AB. Njen trenutak:
.
Budući da je sila u odnosu na os A usmjerena suprotno od kazaljke na satu, njezin je moment pozitivan.

Sila je okomita na krak AK. Budući da je ta sila u odnosu na os A usmjerena u smjeru kazaljke na satu, njen moment ima negativnu vrijednost:
.

Na sličan način nalazimo momente preostalih sila:
;
.
Moment iz para sila M ne ovisi o točkama primjene sila uključenih u par:
.

Napravimo jednadžbu ravnoteže. Zbroj momenata sila oko osi A jednak je nuli:
;

;
;
(P3) .

Rješavanje jednadžbi ravnoteže

Dakle, za tri nepoznate veličine, dobili smo tri jednadžbe:
(P1) .
(P2) .
(P3) .

Riješimo ove jednadžbe. Izračunavamo udaljenosti.
m;
m;
m;
m.

Iz jednadžbe (A1) nalazimo:
N.
Iz jednadžbe (A3) nalazimo:

N.
Iz jednadžbe (A2) imamo:
N.
Apsolutna vrijednost reakcije tla u točki A:
N.

Provjera točnosti rješenja

Da bismo provjerili jesmo li ispravno odredili reakcije nosača grede, pronaći ćemo zbroj momenata sila u odnosu na drugu os. Ako smo točno pronašli reakciju, onda bi ona trebala biti jednaka nuli.

Uzmimo os koja prolazi točkom E. Izračunavamo zbroj momenata sila oko ove osi:

.
Nađimo pogrešku u izračunavanju zbroja momenata. Pronađene sile zaokružili smo na dvije decimale. Odnosno, pogreška u određivanju reakcija podrške je 0,01 N. Udaljenosti su po redu veličine približno jednake 10 m. Tada je pogreška u izračunavanju zbroja momenata oko 10·0,01 = 0,1 Nm. Shvatili smo smisao -0,03 Nm. Ova se vrijednost razlikuje od nule za najviše iznos pogreške. To jest, uzimajući u obzir pogrešku izračuna, zbroj momenata u odnosu na drugu os jednak je nuli. To znači da je rješenje točno, sile reakcije su točno pronađene.

Drugo rješenje

Na prvi način sastavili smo dvije jednadžbe za sile i jednu za momente. Problem se može riješiti i na drugi način tako da se naprave dvije jednadžbe za momente i jedna za sile.

Iskoristimo činjenicu da je zbroj momenata sila jednak nuli u odnosu na bilo koju os. Uzmimo drugu os koja prolazi točkom B okomito na ravninu crteža. Zbroj momenata sila u odnosu na ovo je nula:
.
Izračunavamo momente sila oko B osi.
; ; ;
;
;
;
;
.

Zbroj momenata sila oko osi B jednak je nuli:
;

;
;
(P4) ;

Dakle, na drugi način također imamo tri jednadžbe:
(P1) .
(P3) ;
(P4) .

Ovdje svaka jednadžba sadrži samo jednu nepoznatu veličinu. Reakcije i određuju se iz istih jednadžbi kao i prije. Silu nalazimo iz jednadžbe (A4):

N.

Vrijednost reakcije podudarala se s vrijednošću dobivenom prvom metodom iz jednadžbe (A2).

Vježbajte

Određena je horizontalna dvonosna greda. Greda je opterećena djelatnim silama: koncentrirana F, distribuirani intenzitet sile q i par sila s momentom M(Tablica 2.1 i Slika 2.6).

Cilj rada – konstruirati proračunski dijagram grede, nacrtati jednadžbe ravnoteže grede, odrediti reakcije njenih oslonaca i identificirati najopterećeniji nosač.

Teorijska pozadina

U mnogim strojevima i strukturama postoje strukturni elementi koji su prvenstveno dizajnirani za apsorbiranje opterećenja usmjerenih okomito na njihovu os. Dijagrami dizajna takvih elemenata (osovina, dijelovi metalnih konstrukcija itd.) Mogu se prikazati gredom. Grede imaju potporne naprave za prijenos sila i povezivanje s drugim elementima.

Glavne vrste nosača greda su zglobni - pomični, zglobni - fiksni nosači i kruto ugrađivanje.

Zglobni i pomični nosač (slika 2.1, a) omogućuje da se greda okreće oko osi zgloba i linearno pomiče malu udaljenost paralelnu s ravninom nosača. Točka primjene reakcije tla je središte šarke. Smjer reakcije R je okomit na podlogu.

Zglobno-fiksni nosač (sl. 2.1,6) omogućuje samo rotaciju grede oko osi zgloba. Točka primjene također je središte šarke. Smjer reakcije je ovdje nepoznat, ovisi o opterećenju primijenjenom na gredu. Stoga se za takav nosač određuju dvije nepoznanice - međusobno okomite komponente R x i R y reakcije nosača.

Kruto učvršćivanje (štipanje) (Sl. 2.1, c) ne dopušta niti linearne pokrete niti rotaciju. Nepoznato u u ovom slučaju nisu samo količina, već i točka primjene. Dakle, za određivanje reakcije oslonca potrebno je pronaći tri nepoznanice: komponente R x i R y duž koordinatnih osi i reaktivni moment MR u odnosu na težište presjeka nosača grede.

A B C

sl.2.1

Ravnoteža grede pod djelovanjem bilo kojeg sustava zadanih sila smještenih u jednoj ravnini može se osigurati jednim krutim ugradnjom ili dvama nosačima - pomičnim i fiksnim. Grede se nazivaju konzolnim (slika 2.2, a) ili dvostrukim nosačem (slika 2.2, b)

sl.2.2

Na gredu djeluju određene sile i parovi sila. Prema načinu primjene sile se dijele na raspoređene i koncentrirane. Raspodijeljena opterećenja navedena su intenzivnošću q, N/m i duljinom 1, m. Jednoliko raspoređena opterećenja su konvencionalno prikazana u obliku pravokutnika u kojem paralelne strelice pokazuju u kojem smjeru djeluje opterećenje (slika 2.3). U statičkim problemima, jednoliko raspodijeljeno opterećenje može se zamijeniti rezultantnom koncentriranom silom Q, numerički jednakom umnošku q * 1, primijenjenom na sredini duljine i usmjerenom prema djelovanju q.

Sl.2.3 Sl. 2.4

Koncentrirana opterećenja primjenjuju se na relativno maloj duljini, pa se smatra da su primijenjena u točki. Ako se koncentrirana sila primjenjuje pod kutom na gredu, tada je za određivanje reakcije nosača prikladno razložiti je na dvije komponente - F x = Fcos α i F y = F sin α (slika 2.4).

Reakcije nosača grede određene su iz uvjeta ravnoteže ravninskog sustava proizvoljno lociranih sila. Za ravni sustav mogu se stvoriti tri neovisna uvjeta ravnoteže:

∑F ix = 0; ∑F iy = 0; ∑M io = 0 ili

∑M ia = 0; ∑M iB = 0; ∑M iC = 0 ili ) (2.1)

∑M iA = 0; ∑M iB = 0; ∑F ix = 0.

Gdje su O, A, B, C središta momenata.

Racionalno je odabrati takve jednadžbe ravnoteže od kojih bi svaka uključivala jednu nepoznatu reakciju.

Radni nalog

1. U skladu sa zadatkom nacrtajte gredu i zadane sile koje djeluju.

Odaberite mjesto koordinatnih osi: poravnajte os x s gredom i osi na točka okomita na os X.

1. Izvršite potrebne transformacije: silu nagnutu prema osi grede pod kutom a zamijenite s dvije međusobno okomite komponente, a jednoliko raspodijeljeno opterećenje zamijenite njegovom rezultantom.

2. Oslobodite gredu od oslonaca, zamijenivši njihovo djelovanje reakcijama oslonaca usmjerenih duž koordinatnih osi.

3. Napravite jednadžbe ravnoteže za gredu tako da rješenje svake od tri jednadžbe bude određivanje jedne od nepoznatih reakcija nosača.

4. Provjeriti ispravnost određivanja reakcija potpore pomoću jednadžbe koja nije korištena za rješavanje zadataka.

5. Izvedite zaključak o najopterećenijem nosaču.

6. Odgovorite na sigurnosna pitanja.

Kontrolna pitanja

1. Koliko se neovisnih jednadžbi ravnoteže može sastaviti za ravninski sustav paralelnih sila?

2. Koje komponente reakcije grednih oslonaca se javljaju kod zglobno-pokretnih, zglobno-fiksiranih oslonaca i krutog ugradnje?

3.Koju točku je preporučljivo odabrati kao središte momenta pri određivanju reakcija oslonaca?

4.Koji sustav je statički neodređen?

Primjer izvedbe

1. Zadatak:

q = 5 N/m, F = 25 H, M = 2 H*m, α = 60°

2. Transformacija zadanih sila:

F x = F cos α = 25 cos 60° = 12,500H, F y = F sinα = 25 sin60° = 21,625H

Q = q*1 = 5*6 =30 H.

sl.2.5

3. Napravimo dijagram dizajna (Sl. 2.5)

4. Jednadžbe ravnoteže i određivanje potpornih reakcija:

a) ∑M ia = 0; -Q *3 – F y * 7,5+ R B * 8,5 – M = 0;

b) ∑M iB =0: - R Ay *8,5 + Q *5,5 + F y *1 – M = 0:

c) ∑F ix =0: R Ax + F x =0: R Ax = - F x = - 12.500H.

5. Provjerite:

∑F iy = 0; R Ay = Q – F y + R B = 0; 21,724 – 30 – 21,651 + 29,927 = 0; 0 = 0

Najviše je opterećen oslonac B – R B =29,927 N. Opterećenje oslonca A – R A =

Književnost:

Tablica 2.1

Opcija br.	Shema br. na sl. 2.6	q, N/m	F, N	M, N m	, tuča
		4,5
		2,5
		4,5
		3,5
		6,5
		1,5
		0,5

Poznavati Poinsotov teorem o dovođenju sile u točku.

Biti u stanju dovesti proizvoljan ravninski sustav sila u točku, određujući vrijednosti glavnog vektora i glavnog momenta sustava.

Poznavati tri oblika jednadžbi ravnoteže i znati ih koristiti pri određivanju reakcija u nosačima grednih sustava.

Osnovne formule i preduvjeti za izračun

Vrste grednih nosača i njihove reakcije(Slika A2.1)

Momenti par sila i sile oko točke(Slika A2.2)

Glavni vektor

Glavna točka

Uvjeti ravnoteže

Ispitivanje:

Ispitivanje:

Vježbe u pripremi za samostalan rad

4. Prijenos sile F točno A, korištenjem Poinsotovog teorema (slika A2.3).

F= 20kN; AB= 6m; Sunce= 2m.

2. Sustav sila dovesti do točke U, odrediti glavni vektor i glavni moment sustava sila (slika A2.4). AB= 2m; prije Krista = 1,5m; CD= 1m. F 1= 18kN; F 2 = 10kN; F 3= 30kN; T= 36kN-m.

3. Sustav sila je u ravnoteži. Odredite veličinu momenta para T(Slika A2.5).

F 1 = F 1 ' = 10 kN; F 2 = F 2 ' = 20kN.

4. Primijenite reakcije u osloncima greda 1 i 2 (slika P2.6).

5. Odredite veličinu reakcije u nosaču A. Primjenjuje se raspodijeljeno opterećenje intenziteta q= 5kN/m (slika A2.7).

6. Napišite sustav jednadžbi ravnoteže za određivanje reakcija u nosaču uklještene grede.

7. Napiši sustav jednadžbi ravnoteže za određivanje reakcija u osloncima dvonosače grede učvršćene na dva zgloba.

Računsko-grafički rad br.2. Određivanje reakcija u nosačima grednih sustava pod djelovanjem koncentriranih sila i parova sila

Zadatak 1. Odredite veličinu reakcija u nosaču uklještene grede. Provjerite točnost rješenja.

Računsko-grafički rad br.3. Određivanje vrijednosti reakcije u nosačima grednih sustava pod djelovanjem koncentriranih i raspodijeljena opterećenja

Zadatak 1. Odredite veličinu reakcija u ugradnji. Provjerite točnost rješenja.

Zadatak 2. Odredite veličinu reakcija u zglobnim osloncima grede. Provjerite točnost rješenja.

Prilikom obrane rada odgovorite na pitanja na ispitnim karticama.

Tema 1.4. Statika. Proizvoljni ravni sustav sila

PREDAVANJE 9

Tema 1.7. Osnovni pojmovi kinematike. Kinematika točke

Imati razumijevanje prostora, vremena, putanje, putanje, brzine i ubrzanja.

Poznavati načine zadavanja kretanja točke (prirodnog i koordinatnog).

Poznavati simbole, mjerne jedinice, odnos kinematičkih parametara gibanja, formule za određivanje brzina i ubrzanja (bez izvođenja).

Kinematika kretanje smatra kretanjem u prostoru. Razlozi koji uzrokuju kretanje se ne uzimaju u obzir. Kinematika utvrđuje metode za određivanje gibanja i utvrđuje metode za određivanje kinematičkih parametara gibanja.